Aplikasi pemrograman linear pada perencanaan perkotaan

Mulanya, pemrograman linear merupakan sebuah teknik yg digunakan pada masa perang dunia ke-2. Teknik ini digunakan untuk memasok bahan persiapan para tentara untuk berperang secara optimal. Seiring berjalannya waktu dan berkembangnya disiplin ilmu, teknik ini tidak hanya digunakan untuk persoalan tersebut, tetapi juga dapat digunakan pada berbagai macam persoalan. Salah satunya adalah perencanaan perkotaan. Berikut merupakan contoh persoalan perencanaan perkotaan yang akan digambarkan dalam bentuk soal cerita dari buku Riset Operasi Suatu Pengantar. Soal tersebut dapat diselesaikan dengan solver Ms. Excel

Seorang makelar sedang mengembangkan perumahan sewa di sebuah lahan. Area perumahan terdiri dari apartemen, duplex dan rumah petak. Permintaan maksimum yang berpotensial untuk penyewaan diperkirakan 500 apartemen, 300 dupleks dan 250 rumah petak, tetapi jumlah dupleks harus sama setidaknya 50% dari jumlah apartemen dan rumah petak. Proporsi lahan setidaknya sejumlah dengan jumlah unit perumahan seluas 10ft2, 15ft2 dan 18ft2 untuk apartemen, duplex dan rumah petak, masing-masing. Namun ketersediaan lahan tidak lebih dari 10.000ft. Pendapatan sewa bulanan diperkirakan, masing-masing $ 600, $ 750, dan $ 1200 untuk unit apatemen, dupleks, dan rumah petak. Biaya sewa lahan seharga $100/ft. Kembangkan model Linear Programing untuk menentukan luas lahan dan jumlah perumahan yang optimal.

Jawab:

Menetukan variabel

x1  = appartments

x2  = duplex

x3  = rumah petak

y    = jumlah lahan yg akan disewa

Berdasarkan persoalan di atas, tujuan pemecahan masalah adalah mencari keuntungan maksimum, walaupun di atas terdapat keterangan mengenai biaya

A.    Tujuan

max z = 600x1 + 750x2 + 1200x3 - 100y

B.     Kendala

1.      Jumlah maksimum permintaan dari masing-masing perumahan (apartemen, duplex, dan rumah petak), hal ini menunjukkan permintaan masing-masing perumahan tidak lebih (<) dari jumlah yg tertera di soal

x1 <= 500

x2 <= 300

x3 <= 250

2.      Jumlah dupleks diharuskan samadengan minimal 50% dari jumlah unit apartement ditambah rumah petak.

x2 >= 0.5(x1+x3) or x2 - 0.5x1 - 0.5x3 >= 0

permintaan (x1+x3: 500+250 = kurangdari 750), jadi x2 sejumlah kurangdari 300 harus sama atau lebih dari setengahnya(x1+x3)

Pemikirannya, jumlah x2 harus minimal setengahnya jumlah (x1+x3). Misal x1=250, x2=200, maka 250+200=450, sehingga x2 jumlahnya adalah setengahnya dari 450, yaitu 225

3.      Luas lahan yg harus disewa paling tidak proporsional atau sebanding dengan luas keseluruhan masing-masing perumahan (appart+duplex+srumah petak), dan luas masing-masing perumahan (appart, duplex, dan rumah petak) adalah 10ft2, 15ft2, and 18ft2.

jumlah luas area setidaknya proporsi dengan jumlah dari (appart, dupx, single home)

y >= 10x1 + 15x2 + 18x3

or

y - 10x1 - 15x2 -  18x3 >= 0

4.      Luas maksimal lahan sebesar 10000ft2

y <= 10000

Berikut merupakan keseluruhan formula

max z = 600x1 + 750x2 + 1200x3 - 100y

x1 <= 500

x2 <= 300

x3 <= 250
x2 - 0.5x1 - 0.5x3 >= 0
y - 10x1 - 15x2 -  18x3 >= 0
y <= 10000

Berikut merupakan hasil optimasi dengan solver pada Ms. Excel

Dan dibawah ini merupakan analisa sensivitas dari persoalan di atas

Sumber : buku Hamdy A. Taha (Penelitian Operasional)